Diketahui k² + m² - (l² + n²) = 2010 dan k + l + m + n = 2010. Jika k, l, m, dan n adalah empat suku pertama barisan aritmatika, maka nilai k adalah
Jawab:
504
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Diketahui:
- k² + m² – (l² + n²) = 2010
- k + l + m + n = 2010
- k, l, m, dan n adalah empat suku pertama barisan aritmatika
Ditanya:
- k = ...?
Jawab/Penyelesaian:
Karena k, l, m, dan n adalah empat suku pertama barisan aritmatika, maka:
- l = k + b
- m = k + 2b
- n = k + 3b
dengan b merupakan beda/selisih barisan aritmatika tersebut.
Sehingga:
k + l + m + n = 2010
⇔ k + k + b + k + 2b + k + 3b = 2010
⇔ 4k + 6b = 2010 .....(i)
k² + m² – (l² + n²) = 2010
⇔ k² + m² – (l² + n²) = 2010
⇔ k² – l² + m² – n² = 2010
⇔ (k – l)(k + l) + (m – n)(m + n) = 2010
⇔ [k – (k + b)](k + k + b) + [k + 2b – (k + 3b)](k + 2b + k + 3b) = 2010
⇔ (–b)(2k + b) + (–b)(2k + 5b) = 2010
⇔ (–b)[(2k + b) + (2k + 5b)] = 2010
⇔ (–b)(4k + 6b) = 2010
Substitusi 4k + 6b dari persamaan (i):
⇔ (–b)(2010) = 2010
Kedua ruas dibagi (–2010):
⇔ b = –1 .....(ii)
Selanjutnya, nilai k dapat diperoleh dari persamaan (i).
4k + 6b = 2010
⇔ 4k = 2010 – 6b
Substitusi b dari (ii):
⇔ 4k = 2010 – 6(–1)
⇔ 4k = 2010 + 6
⇔ 4k = 2016
⇔ k = 2016/4
⇔ k = 504
∴ Dengan demikian, nilai k adalah 504.
__________________________
Tambahan:
Nilai l, m, dan n berturut-turut adalah 503, 502, dan 501.
Sehingga:
k + l + m + n = 504 + 503 + 502 + 501 = 2010
k² + m² - (l² + n²)
= 504² + 502² – (503² + 501²)
= 254.016 + 252.004 – (253.009 + 251.001)
= 506.020 – 504.010
= 2010
